# Z変換と伝達関数 ## 定義 Z変換(Z-transform)は、離散時間信号 $\{u(k)\}$($k<0$ で 0)を $U(z) = \sum_{k=0}^{\infty} u(k)z^{-k}$ という $z$ の級数として表す変換であり、信号の値 $u(k)$ は $z^{-k}$ の係数として直接読み取れる。$z$ による乗算は信号の1時間単位の左シフト(未来方向)に、$z^{-1}$ による乗算(除算)は1時間単位の遅延に対応するため、時間領域では面倒なシフト・遅延操作がZ領域では単純な代数操作になる。この対応関係により、線形差分方程式は「(1) 各項をZ変換する、(2) 出力のZ変換について解く、(3) 入力のZ変換を代入する、(4) 必要なら逆Z変換で時間領域に戻す」という4段階の手続きで代数的に解ける。(Source: [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] §3.1) 伝達関数(transfer function) $G(z) = Y(z)/U(z)$ は、初期条件をゼロとした線形差分方程式のZ変換から機械的に導出できる、システムの入出力関係そのものを表すZ変換である。伝達関数の分母多項式(特性多項式)の根を極(pole)、分子多項式の根を零点(zero)と呼ぶ。極の位置は部分分数展開を通じて時間領域の各項(指数的減衰・増大、振動)に一対一で対応し、システムの時間領域挙動の大半を決定する: 極が複素平面の単位円の内側にあれば0に収束、単位円上なら有界にとどまる、外側なら発散する。極が負の実軸上または複素数であれば振動が生じ、周波数は極の角度で決まる。伝達関数の全ての極が単位円内にあることは、有界入力に対して常に有界出力を返す BIBO 安定性の必要十分条件になる(定理3.2)。定常状態の解析には最終値定理 $\lim_{k\to\infty} f(k) = \lim_{z\to 1}(z-1)F(z)$(定理3.1、$(z-1)F(z)$ の全ての極が単位円内にあることが適用条件)を使えば、逆Z変換を経ずに定常ゲイン $G(1)$ を直接計算できる。(Source: [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] §3.2, §3.3) **なぜ本書は連続時間の Laplace 変換ではなく離散時間の Z 変換を選ぶか**: 本書の設計判断として、対象をほぼ全面的に離散時間系に絞っている。第3章はその数学的な裏づけを与える章であり、計算機システムの性能測定がサンプリングによって離散的な値の列として得られること(連続時間の信号として直接観測できないこと)、そして離散時間の差分方程式がZ変換によって代数的に解けることを示す。序文では、この選択の実務的な動機として「性能測定はサンプリングで得られる」「計算機科学者は微分方程式より差分方程式に慣れている」の2点が挙げられている。すなわち、序文が実務上の動機を、第3章がその選択を成り立たせる数学的な道具(Z変換・極による解析)を、それぞれ与える。(Source: [[Feedback Control of Computing Systems]] 序文; [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] §3.1) ## 横断的知見 - **経験的モデルと解析的解法の分業**: 第2章はシステム同定(最小二乗回帰)によって差分方程式 $y(k+1)=ay(k)+bu(k)$ の係数 $a, b$ を実測データから推定する手続きを与える(例: Apache HTTP Server で $a=0.6, b=-0.014$、IBM Lotus Domino Server で $a=0.43, b=0.47$)。第3章はこの同じ差分方程式をZ変換して伝達関数 $G(z)=b/(z-a)$ に変換し、係数 $a$ をそのまま極として読み替えることで、シミュレーションを行わずに安定性(|a|<1)・整定時間(a の大きさ)・定常ゲイン($b/(1-a)$)を直接導出する。すなわち、第2章は「モデルを当てはめる」段階、第3章は「当てはめたモデルを解析する」段階を担い、両者は同じ推定係数を異なる目的(当てはまりの評価 vs. 制御特性の予測)で再利用している。(Source: [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 2 Model Construction]] §2.6.1, §2.6.2; [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] §3.3, Example 3.6, Example 3.7) - **離散時間を選ぶ理由の二重の根拠**: 序文が挙げる実務上の動機(性能測定はサンプリングで得られる、計算機科学者は差分方程式に慣れている)と、第3章が与える数学的な道具(Z変換による極の解析)は、互いに独立ではなく補完関係にある。序文だけでは「なぜ離散時間で解析的に扱えるのか」が説明されず、第3章だけでは「なぜそもそも離散時間を選ぶのか」という設計判断の動機が見えない。両者を突き合わせて初めて、本書が連続時間のLaplace変換ではなく離散時間のZ変換を選んだ理由が完結する。(Source: [[Feedback Control of Computing Systems]] 序文; [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] §3.1) ## 未解決の問い - 支配極(dominant pole)による高次系の一次系近似は第3章で導入にとどまる。第6章(高次系)では、複素数の支配極を持つ場合や、支配極が存在しない場合の扱いがどう本格展開されるか。 - 第7章の状態空間モデルでは、本章の伝達関数(SISO を前提とした極・零点の議論)がMIMOへどう一般化されるか。極の概念自体がどう変化するか。 - Z変換による解析(本章)とMATLABによるシミュレーション(§3.6, §3.3.5)は、本書全体を通じてどのように使い分けられるか。設計段階と検証段階で役割がどう分かれるか。 ## 関連 - 実体: [[Apache HTTP Server]] / [[IBM Lotus Domino Server]] / [[MATLAB]] - 概念: [[状態空間モデル]](機械学習分野の同名概念。制御理論の状態空間表現とは別系統だが、深層学習SSMの起源は制御理論の状態空間モデルにあるため参照可能) / [[線形写像と変換行列]](Z変換の線形性・部分分数展開は線形写像の一種として理解できる) - 章: [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 2 Model Construction]] / [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] ## 出典 - [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 3 Z-Transforms and Transfer Functions]] - [[@2004__Wiley__Feedback Control of Computing Systems - Chapter 2 Model Construction]] - Hellerstein, Diao, Parekh, Tilbury, *Feedback Control of Computing Systems*, IEEE Press / John Wiley & Sons, 2004, Preface, Chapter 3.