# 時間遅れ埋め込み ## 定義 時間遅れ埋め込み(time-delay embedding)とは、観測した時系列の点 z_t を、遅れ τ と埋め込み次元 d で過去の値を並べたベクトル (z_t, z_{t−τ}, ..., z_{t−(d−1)τ}) に置き換える操作である。Takens(1981)の定理により、観測系列だけからは直接見えない系の力学(位相空間)を再構成できる。(Source: [[@2016__Frontiers in Neuroinformatics__A Nonlinear Causality Estimator Based on Non-Parametric Multiplicative Regression]]) ## 予測モデルへの過去情報の入れ方 - **時間遅れ埋め込みは、モデルの形を仮定せずに過去の情報を予測子へ加える方法になる。** 自己回帰モデルがモデルの次数で過去を取り込むのに対し、埋め込みでは遅れた値を予測子の列として並べるだけで、ノンパラメトリックな回帰にも使える。 - 根拠: [[@2016__Frontiers in Neuroinformatics__A Nonlinear Causality Estimator Based on Non-Parametric Multiplicative Regression]] — CNPMR は応答と予測変数を埋め込み、遅れた値を NPMR の予測子として使う。 - **埋め込み次元の選択は推定値の大きさに影響するが、因果のパターンは変えない。** 次元を大きくすると推定値の振幅は小さくなる傾向があり、著者らは既存手法(遅れは相互情報量の最初の極小や自己相関が 1/e になる時点、次元は Cao の方法など)で先に推定することを勧める。 - 根拠: 同上 — Hénon 写像で d = 1, 2, 3, 4, 6, 8 を比べた予備検討(補足 Figure 2)。 - **予測子ごとに別の埋め込み次元と許容幅を使える。** 近い過去と遠い過去に別の重みを置くことで、予測の精度を上げられる。 - 根拠: 同上 — 考察で述べられるが、実験は全予測子で共通の d と σ で行われた。 ## 未解決の問い - 埋め込み次元と許容幅を、自由探索に頼らずデータの特性から決めるにはどうするか。 - 非線形の効果が遅い力学に担われる場合(睡眠時無呼吸の呼吸から心拍への効果、麻酔下の脳波)に、感度の高い遅れを直接埋め込み次元の選択に使えるか。 ## 未編纂の観察 ## 関連 - ソース: [[@2016__Frontiers in Neuroinformatics__A Nonlinear Causality Estimator Based on Non-Parametric Multiplicative Regression]] - 概念: [[グレンジャー因果性]] / [[局所回帰]] ## 出典 - Nicolaou N and Constandinou TG (2016) A Nonlinear Causality Estimator Based on Non-Parametric Multiplicative Regression. Front. Neuroinform. 10:19.