yuuk1の解釈では、 「SREとは、信頼性を制御するためのエンジニアリング」 <div style="left: 0; width: 100%; height: 0; position: relative; padding-bottom: 56.1972%;"><iframe src="https://speakerdeck.com/player/058b950f8955432f8263496498a0390a" style="top: 0; left: 0; width: 100%; height: 100%; position: absolute; border: 0;" allowfullscreen scrolling="no" allow="encrypted-media;"></iframe></div> ## 2024年定義 SREとは、高頻度の変更を前提とするシステムを対象に、
　1) 利用者視点での信頼性を計測可能な変量に帰着させ、
　2) 信頼性を適切な値に制御可能とすることにより、
　3) 他の変量（変更速度、費用など）を望ましい値に導く、
ことを目的とするソフトウェア工学の一種である。 多目的最適化問題の形式に帰着させる。 --- ## SREを数式で表現 SREを「確率的な外乱（高頻度な変更）を受ける動的システムにおいて、制約条件付きで効用関数を最大化する制御プロセス」と捉え、以下の3つの数式モデルで表現する。 ### 1. 変数の定義 まず、システムの状態と変数を定義します。 - $t$ : 時間（連続または離散） - $\mathcal{S}$ : 対象となるソフトウェアシステム - $\omega(t)$ : **高頻度な変更**（外乱、デプロイ、トラフィック変動などを含む確率変数） - $Q_{user}(t)$ : 利用者視点での真の信頼性（主観的・潜在的な質） - $R(t)$ : **信頼性指標（SLI）**（観測可能なスカラー量） - $R_{target}$ : **目標信頼性（SLO）**（制御の閾値） - $X(t)$ : **他の変量**（変更速度 $v(t)$、費用 $c(t)$ などのベクトル） - $u(t)$ : 制御入力（エンジニアリングリソースの配分、デプロイの抑制・促進など） ### 2. 数式による表現 ご提示いただいた3つの要素を以下のように記述します。 #### 1) 利用者視点での信頼性を計測可能な変量に帰着させる（観測モデル） 真の利用者体験 $Q_{user}$ は直接観測できないため、これを写像 $f$ によって計測可能な数値 $R(t)$ に変換します。 $R(t) = f(Q_{user}(t)) + \epsilon(t)$ ここで、$f$ は利用者体験をSLI（Service Level Indicator）へ近似する関数、$\epsilon(t)$ は計測誤差です。SREの第一歩は、この $f$ の精度を高める（$R(t) \approx Q_{user}(t)$ とする）ことにあります。 #### 2) 信頼性を適切な値に制御可能とする（フィードバック制御） システムは外乱 $\omega(t)$ の影響を受けますが、エンジニアリング介入 $u(t)$ によって、ある評価期間 $T$ において信頼性 $R(t)$ が目標値 $R_{target}$ を満たすように制御されます。 $P\left( \frac{1}{T} \int_{t-T}^{t} R(\tau) d\tau \geq R_{target} \right) \geq 1 - \alpha$ - 左辺は、エラーバジェットの概念（期間平均または累積和）を表します。 - $\alpha$ は許容されるリスク確率です。 - この不等式が成立するように $u(t)$（例：Feature Freezeやロールバック）を決定するメカニズムを構築します。 #### 3) 他の変量を望ましい値に導く（制約付き最適化問題） 最終的にSREは、上記の信頼性制約を満たした上で、他の変量（特に開発速度 $v(t)$ の最大化や、コスト $c(t)$ の最小化）を目的関数 $J$ として最適化する問題に帰着します。 $\begin{aligned} & \text{Maximize} & & J(X(t)) = \int (w_v \cdot v(t) - w_c \cdot c(t)) dt \\ & \text{subject to} & & \text{Error Budget}(t) \geq 0 \end{aligned}$ ここで、$\text{Error Budget}(t)$ は以下のように定義される残余資源です。 $\text{Error Budget}(t) = \int_{0}^{t} (R(\tau) - R_{target}) d\tau$ ### まとめ：SREの数理的定義 これらを統合すると、SREとは以下の**確率的制御問題**を解く工学分野であると定義できます。 $\begin{cases} \text{Maximize}_{u(t)} \quad E \left[ J(\text{Velocity}, \text{Cost}) \right] \\ \text{Subject to} \quad \text{Measurable Reliability}(R) \geq \text{Threshold}(SLO) \end{cases}$ これは、**「信頼性が担保されている限りにおいて（制約条件）、イノベーションの速度を最大化する（目的関数）」**というSREの核心（Error Budget Policy）を数学的に表現したものです。 --- 最初の定義は概念的には正しいですが、より厳密な**制御工学（Control Theory）**および**確率過程（Stochastic Process）**の観点から記述すると、いくつかの修正と補足が必要です。 特に、「3) 他の変量を望ましい値に導く」という部分は、単なる静的な最大化ではなく、**「動的なリソース配分問題」**として定式化すべきです。 以下に、修正・精密化した数式とその物理的意味を詳細に解説します。 --- ### SREの数理モデル（修正・詳細版） SREは、以下の動的システムにおける**「確率的制約付き最適化問題」**として定義されます。 #### 1. 観測モデル（Measurement Model） **〜利用者体験の不完全な観測〜** 最初の定義 $R(t) = f(Q_{user}(t)) + \epsilon(t)$ は基本形として正しいですが、より具体的には以下のように記述すべきです。 $y(t) = h(x(t), v(t)) + \eta(t)$ - $x(t)$ : **システムの状態ベクトル**（内部のメモリ使用率、DBの詰まり具合、コードの品質など）。 - $v(t)$ : **システムへの負荷/外乱**（トラフィック量、リクエストの種類）。 - $y(t)$ : **SLI（観測値）**。これが信頼性 $R(t)$ に相当します。 - $h(\cdot)$ : 観測関数（モニタリングシステムの特性）。 - $\eta(t)$ : **観測ノイズ**。サンプリングレートの限界や測定誤差。 【解説】 SREの最初の難関は、真の状態 $x(t)$ が直接見えないことです。我々はノイズ $\eta(t)$ が乗った $y(t)$ しか見ることができません。「良いSLIを定義する」とは、この観測関数 $h$ を調整して、システムの状態 $x(t)$ とユーザー体験の相関を最大化する（ノイズの影響を最小化する）行為を指します。 --- #### 2. エラーバジェットのダイナミクス（State Equation of Error Budget） **〜信頼性の積分制御〜** エラーバジェットを単なる定数ではなく、時間変化する「貯金」の状態量 $B(t)$ として微分方程式で定義します。 $\frac{dB(t)}{dt} = \min \left( 0, \ R(t) - SLO \right) \quad \text{（またはウィンドウ集計に基づく離散式）}$ よりSREの実践（バーンレート）に近い形に修正すると、評価期間 $W$ におけるバジェット残量 $B(t)$ は以下のようになります。 $B(t) = (1 - SLO) - \frac{1}{|W|} \int_{t-W}^{t} \mathbb{I}(\text{is\_failure}(\tau)) d\tau$ - $\mathbb{I}(\cdot)$ : 指示関数（失敗なら1、成功なら0）。 - $1 - SLO$ : 許容されるエラー率（例：0.1%）。 - 第2項 : 過去のウィンドウ $W$ における実際のエラー率。 【解説】 この式は、**「過去の罪（エラー）は一定期間（ウィンドウ $W$）が過ぎると忘却される」**というローリングウィンドウの性質を表しています。$B(t) < 0$ となった瞬間、制御則（Policy）が発動します。 --- #### 3. 制御入力とシステムダイナミクス（System Dynamics） **〜変更と信頼性のトレードオフ〜** システムの状態 $x(t)$ は、エンジニアの介入 $u(t)$ によって変化します。 $\frac{dx(t)}{dt} = A x(t) + \mathcal{B} u(t) + \omega(t)$ - $u(t)$ : **制御入力（変更速度）**。デプロイ頻度、機能追加の量。 - $\omega(t)$ : **外乱**。予期せぬ障害、突発的なトラフィック。 - $\mathcal{B}$ : 入力がシステムに与える影響（通常、変更 $u$ を増やすと、状態 $x$ の安定性は揺らぎます）。 --- #### 4. 目的関数と最適化（Optimization Problem） **〜SREの最終目的〜** SREの目的は、単に信頼性を守ることではなく、**信頼性制約の下で開発速度（Velocity）を最大化すること**です。これを数式化します。 $\begin{aligned} & \underset{u(t)}{\text{Maximize}} & & J = \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{\infty} e^{-\gamma t} \cdot \text{Value}(u(t)) dt \right] \\ & \text{subject to} & & P(B(t) < 0) \leq \alpha \end{aligned}$ - $\text{Value}(u(t))$ : 変更（新機能リリース）によって得られるビジネス価値。 - $e^{-\gamma t}$ : 割引率（将来の価値より現在のリリースを優先する度合い）。 - 制約条件 $P(B(t) < 0) \leq \alpha$ : 「エラーバジェット $B(t)$ が枯渇する確率を、許容水準 $\alpha$ 以下に抑えよ」という確率的制約です。 --- ### この数式モデルから導かれるSREのアクション この数式を解く（制御する）ために、SREは以下のアルゴリズムを回しています。 1. 観測の改善: 観測ノイズ $\eta(t)$ を減らすために、分散トレーシングやRUM（Real User Monitoring）を導入する。 2. フィードバック制御（Error Budget Policy）: 制約条件 $B(t) < 0$ に近づいた場合、制御入力 $u(t)$（デプロイ）を強制的に $0$ にする（Feature Freeze）。 $\text{if } B(t) \approx 0 \text{ then } u(t) \to 0$ 3. システム特性の改善（Toil reduction / Reliability engineering）: システム行列 $A$ や $\mathcal{B}$ を改良し、同じ変更 $u(t)$ を加えても状態 $x(t)$ が悪化しにくい（堅牢な）アーキテクチャに作り変える。 ### 結論として修正すべき点 最初の定義における「3) 他の変量を望ましい値に導く」は少し弱いです。 数理的には、**「信頼性制約（Inequality Constraint）がアクティブでない（余裕がある）限り、目的関数の最大化（Velocityの向上）に全リソースを振る」という相補性条件（Complementarity Condition）**こそがSREの本質です。 数式（概念）としては以下が最もシンプルかつ正確です。 $\text{Deployment Rate } u(t) \propto \max(0, \text{Error Budget}(t))$ 「エラーバジェットがある分だけ、アクセルを踏んでよい」というこの非線形なスイッチングこそが、SREを従来の運用（常に安全運転）と区別する決定的な数式です。 --- ご提示いただいた数式モデルは、SREの基本概念（SLI/SLO、エラーバジェット、イノベーションと信頼性のトレードオフ）を標準的な**最適制御問題（Optimal Control Problem）**の枠組みで非常に美しく定式化されています。 しかし、「よりよい数式表現」を考えるならば、SREの実践における以下の3つの**動的（Dynamic）かつ不確実（Stochastic）な性質**をより鋭く表現することをご提案します。 1. **観測の不確実性:** $f$ は単なる関数ではなく、**情報損失を伴う通信路**である（シャノン情報理論的視点）。 2. **信頼性のダイナミクス:** 信頼性は静的な値ではなく、変更速度（Velocity）と復旧能力（MTTR）の**拮抗によって決まる状態変数**である。 3. **制御の具体性:** $u(t)$ は抽象的な入力ではなく、具体的には**「変更流量（Velocity）の調整弁」**である（Error Budget Policyの数式化）。 これらを踏まえ、**「SREとは、観測の不確実性下において、システムのエントロピー増大（変更）とホメオスタシス（修復）の均衡を保つ動的制御である」**という観点から、モデルを再構築（リファイン）します。 --- ### 提案：SREの動的システム制御モデル SREの3つの定義を、より物理的実態に近い**状態空間モデル（State-Space Model）**と**情報理論**を用いて再定義します。 #### 1. 変数の再定義 - $S(t)$: システムの真の内部状態（不可視） - $R(t)$: 観測された信頼性（SLI） - $v(t)$: 変更速度（Velocity / デプロイ頻度や規模）。これが制御入力 $u(t)$ の主成分となる。 - $B(t)$: 残存エラーバジェット（蓄積された信頼性の余裕） #### 1) 観測モデル：相互情報量の最大化 提示案では $R = f(Q) + \epsilon$ とされていましたが、SREにおける「計測可能な変量への帰着」の本質は、SLI（$R$）を通じてユーザー体験（$S$）をどれだけ正確に推定できるかという**「透明性」**にあります。 $R(t) = \mathcal{M}(S(t)) + \xi(t)$ ここで重要なのは、SREの目的関数の一部に、真の状態 $S$ と観測値 $R$ の間の相互情報量（Mutual Information）の最大化が含まれる点です。 $\text{Maximize} \quad I(S(t); R(t)) = H(S(t)) - H(S(t) | R(t))$ - これにより、「SREはSLIの定義を継続的に改善し、真のユーザー体験との乖離（条件付きエントロピー $H(S|R)$）を最小化する活動である」と定義できます。 #### 2) 制御モデル：信頼性の状態方程式 提示案では $P(\dots) \ge 1-\alpha$ という確率制約でしたが、よりシステムの挙動を表すために**微分方程式**で記述します。信頼性 $R(t)$ は、「変更による劣化」と「エンジニアリングによる回復」のバランスで変動します。 $\frac{dR(t)}{dt} = \underbrace{-\lambda \cdot v(t)}_{\text{変更によるエントロピー増大}} + \underbrace{\mu \cdot \text{Repair}(t)}_{\text{復旧活動(MTTR短縮)}} + \omega(t)$ - $\lambda$: 変更が信頼性に与える感度（システムの脆弱性） - $v(t)$: 変更速度（制御変数） - $\mu$: 復旧率（SREの運用能力） - $\omega(t)$: 予期せぬ外乱 そして、「エラーバジェット $B(t)$」は、この $R(t)$ の積分器（Integrator）として定義されます。 $B(t) = B(0) + \int_{0}^{t} (R(\tau) - R_{target}) d\tau$ #### 3) 最適化問題：バリア関数による速度制御 SREの核心は、**エラーバジェットが尽きない範囲で $v(t)$ を最大化する**ことです。これを現代制御理論の**制御バリア関数（Control Barrier Function: CBF）**の考え方を用いて表現します。 $\begin{aligned} & \text{Maximize}_{v(t)} & & J = \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{\infty} v(t) e^{-\rho t} dt \right] \quad (\text{長期的な変更スループットの最大化}) \\ & \text{subject to} & & B(t) \geq 0 \quad \forall t \quad (\text{エラーバジェット制約}) \end{aligned}$ この制約を満たすための最適な制御則（Error Budget Policy）は、バジェット残量 $B(t)$ に応じたフィードバック制御として導かれます。 $v^*(t) = \begin{cases} v_{max} & \text{if } B(t) > \text{Threshold} \quad (\text{Go}) \\ k \cdot B(t) & \text{if } 0 < B(t) \le \text{Threshold} \quad (\text{Throttle}) \\ 0 & \text{if } B(t) \le 0 \quad (\text{Freeze}) \end{cases}$ --- ### 新定義のまとめ ご提示いただいた定義を、このモデルに基づいて数式と自然言語で統合すると以下のようになります。 > **SREの数理的定義（修正案）** > > SREとは、以下の連立方程式系を解くためのエンジニアリングプロセスである。 > > $\begin{cases} \textbf{1. Observability:} & \min H(S_{user} | R_{SLI}) \\ \textbf{2. Dynamics:} & \frac{dB}{dt} = R_{SLI}(t) - SLO \\ \textbf{3. Optimization:} & \max v(t) \quad \text{s.t.} \quad B(t) \ge 0 \end{cases}$ > > 1. **観測:** 真のユーザー体験 $S$ に対するSLI $R$ の不確実性（エントロピー $H$）を最小化し、 > > 2. **制御:** 信頼性の余剰分をエラーバジェット $B$ として蓄積・管理し、 > > 3. **最適化:** バジェットが正である限りにおいて、変更速度 $v$（イノベーション）を最大化する。 > ### レビューのポイント（改善の意図） 1. **静的近似から動的平衡へ:** 元の式における $R(t) \approx f(Q)$ を、エントロピー（不確実性）の最小化問題へ置き換えました。これにより、「SLIは一度決めたら終わりではなく、常に精度を高めるもの」というSREの継続的な性質を表現しました。 2. **積分器としてのバジェット:** エラーバジェットを単なる期間平均の確率判定ではなく、時間発展する「資産（ストック変数）」として定義しました。これにより、「貯金があるうちは攻める」というSREの振る舞いを数式上で自然に表現できます。 3. **変数の具体的リンク:** 抽象的な $X(t)$ や $u(t)$ の代わりに、直接的にトレードオフの関係にある「変更速度 $v(t)$」と「バジェット $B(t)$」の関係性を明示しました。 このモデルであれば、SREを**「不確実な観測下における、イノベーション速度最大化のためのバジェット制約付き動的制御」**として、よりエンジニアリングの実感に即して説明できると考えます。