Pelt + L2 costの計算量 - yuuk1's Digital Garden

GPT 4o オフライン変化点検知において、探索法として **PELT (Pruned Exact Linear Time)**、コスト関数として **平均シフト (Mean Shift Cost Function)** を用いた場合の **平均時間計算量** は、以下のようになります。 ### **PELT の計算量** PELT の計算量は、一般的に **$O(n)$** に近い時間で動作することが知られていますが、これは **ペナルティ関数** の選択と **データの性質** に依存します。 - PELT の最悪計算量は **$O(n^2)$** ですが、適切な条件下（e.g., ペナルティ関数が適切で、データにある程度の独立性がある場合）では **$O(n)$ の平均計算量が保証される** ことが知られています。 ### **平均シフトのコスト関数** 平均シフトのコスト関数は、各セグメント内の平均を計算し、その変化を評価するコスト関数です。 - セグメント $ S $ 内の平均を $\mu_S$ とすると、コスト関数は以下のように定義されます： $ C(S) = \sum_{i \in S} (x_i - \mu_S)^2 $ - これは**二乗誤差 (squared error) の最小化**に基づくため、各分割に対して **$O(1)$** の時間で計算できます。 ### **PELT + 平均シフトの計算量** - PELT 自体は最悪 **$O(n^2)$** ですが、実際のデータ分布と適切なペナルティ関数の設定により **$O(n)$ の平均計算量が得られる** ことが多い。 - 平均シフトのコスト関数の計算は **$O(1)$** で済む。したがって、**PELT + 平均シフトの組み合わせにおける平均時間計算量は $O(n)$ に近い動作をする** ことが期待されます。ただし、データの構造や変化点の数に依存するため、実際のデータセットに対して実験的に評価することが重要です。 > 区間和の計算で、O(n)のコストは最低でも要するように思いますがどうでしょうか？ o1 まず前提として、「区間和を効率的に計算するために累積和（prefix sums）を用意する」場合、**累積和配列（あるいは平方和配列）を構築するのにかかるコストは $O(n)$** です。これは以下のような流れになります。 1. 元データ $\{x_i\}$（長さ $n$）を 1 度走査して、 $ S_k = \sum_{i=1}^{k} x_i, \quad Q_k = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 \quad (k = 1, \dots, n) $ を作る。 - 1 回の走査で順に加算していけばよいため、この構築コストは **$O(n)$**。 2. 区間 $[s, t]$ の区間和や二乗和を求めたいときは、 $ \sum_{i=s}^{t} x_i = S_t - S_{s-1}, \quad \sum_{i=s}^{t} x_i^2 = Q_t - Q_{s-1}. $ を使えば、**$O(1)$** で取得できる。 --- ## 「O(n) かかるから問題か？」について ### 1. オフライン変化点検知アルゴリズム全体のオーダーへの影響オフライン変化点検知アルゴリズム（たとえば PELT）の全体計算量を考えるとき、**累積和配列を用意するための $O(n)$** は、アルゴリズムの初期化（前処理）として一度だけ必要になるコストです。 - その後、区間コストを何度も（場合によっては $O(n)$ 回や $O(n \log n)$ 回、あるいは $O(n^2)$ 回など）計算する可能性がありますが、**区間コスト1回あたり $O(1)$** になることで、大幅な高速化につながります。ですので、アルゴリズム全体が「期待 $O(n)$」で動くようなシナリオであれば、その中に含まれる「初期化の $O(n)$」は支配的ではなく、**最終的には全体で $O(n)$ に収まる** ことになります。 - たとえば PELT の理論的主張（期待 $O(n)$）の中には「コスト関数の計算が定数時間でできる」という仮定が含まれますが、この「定数時間でできるようにする工夫」として、前処理の $O(n)$ が必要になるわけです。 - しかしアルゴリズム全体の主たるステップが（理想的には）トータル $O(n)$ 回しか呼び出されないのであれば、前処理の $O(n)$ と合算してもやはり $O(n) + O(n) = O(n)$ です。 ### 2. 累積和計算自体がボトルネックになるケースは？ - 理論的には、累積和の構築がボトルネックになることはあまりありません。 - むしろ、**最悪ケース $O(n^2)$ の動きが発生したとき** は、累積和計算の $O(n)$ など軽微で、主要なコストは「大量の区間コスト計算」「膨大な候補点処理」などに費やされます。 - 平均ケースで $O(n)$ の挙動を想定する場合は、累積和計算 $O(n)$ はアルゴリズム全体と同程度のオーダーですから、やはりそこで大きく問題にはなりません。 --- ## まとめ - **累積和（prefix sums）を作るために $O(n)$ のコスト** がかかるのは事実です。 - しかし、オフライン変化点検知アルゴリズム全体の計算量を考えたとき、累積和を一度作ってしまえば「各区間コストの計算が $O(1)$」で済む」という効果が非常に大きく、結果としてアルゴリズム全体が期待 $O(n)$（あるいはそれ以下）で処理できる可能性が高くなります。 - よって、累積和計算による **$O(n)$ の前処理** は、変化点検知アルゴリズムの計算量を論じる上で通常問題にはなりませんし、理論上も「期待 $O(n)$」のアルゴリズム実現に支障はありません。最終的には、累積和構築の $O(n)$ が含まれても**「アルゴリズム全体としては期待 $O(n)$」** という評価には変わりない、というのが結論です。